1、2.4 內(nèi)積空間的標準正交基 2.4.1 標準正交集 定義2.4.1（標準正交集） 設(shè)X為一 內(nèi)積空間，M含于X，若M中的所有元素 之間是兩兩正交的，就稱M為一正交集； 再若M中每個元素的范數(shù)都是 1 ，稱M為 標準正交集。,標準正交集的性質(zhì)： （1）任何標準正交集都是線性無關(guān)的。 （2）若（e1, e2, , en）是標準正交序列，則每一個x Spane1, e2, , en都可以唯一的表示為,(3)對于任何線性無關(guān)的序列（xi），可以 應(yīng)用格拉姆-施密特標準正交化方法得到 一個標準正交序列（ei），使得對每一個n 屬于N都有 Spane1, e2, , en = Spanx1, x2, ,

2、 xn,2.4.2內(nèi)積空間的標準正交系 定義2.4.3（傅里葉級數(shù)） 設(shè)（en）是內(nèi)積空間X中的一個標準正交系，任給 x X，則稱級數(shù),為矢量 x 關(guān)于正交系（en）的傅里葉級數(shù)， 稱為 x 關(guān)于en的傅里葉系數(shù)。,定理2.4.4 設(shè)en是X中的標準正交集，M 是由en中 m 個矢量張成的線性子空間， 即M= Spane1, e2, , em，對任意的 xX，級數(shù),是 x 在M上的正交投影。,而且有：,定理2.4.5 若（en）是內(nèi)積空間X（無窮維 的）的標準正交系， x X，則有下列貝 塞爾不等式成立：,定理2.4.6 若（en）是內(nèi)積空間X的標準 正交系，M = Span e1, e2,

3、, en ， x X，對任意的 m 維數(shù)組（ 1, 2 , , n）有,2.4.3 內(nèi)積空間的標準正交基 定義2.4.7（內(nèi)積空間的完全標準正交系或標準正交基） 在內(nèi)積空間 X 中的標準正交系（en）被稱作是完全的，是指 X 中不存在與所有en正交的非零元素。,定理2.4.8 設(shè)（en）是希爾伯特空間X中的標準正交系， xX，則等式,成立的充要條件是：（en）是完全的。 上式也稱為帕塞法耳等式。,定理2.4.9 如果（en）是希爾伯特空間 X 中的標準正交基，則任意的 x X 都可以 表示為,定義（完備的） 設(shè)（en）是內(nèi)積空間X 中的標準正交系，如果對于每一個xX， 帕塞法耳等式,恒成立，則稱（en）是完備的。,定理 設(shè)（en）是希爾伯特空間 X 中的一個規(guī)范（標準）正交系，則下列性質(zhì)等價： （1）（en）是完備的； （2）（en）是完全的； （3）對于X中任一元素 x，級數(shù),在 X 中收斂于 x ；,（4）對 X 中任意兩個元素 x，y 有,2.4.4 常用標準正交基舉例 1、勒讓德多項式 通項：,另外，拉普拉斯方程在求坐標系下分離變量,得到勒讓德方程,為勒讓德多項式的級數(shù)表示,注意到, 故可方便地得出前幾個勒讓德多項式:,勒讓德多項