1、2006屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)集合與簡(jiǎn)易邏輯學(xué)案一、考試要求1.理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念。了解空集和全集的意義。了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義。能掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，能正確地表示一些較簡(jiǎn)單的集合。2.理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；二、考點(diǎn)掃描 1集合中元素特征：確定性，互異性，無序性；集合按元素特征分類：數(shù)集，點(diǎn)集。2、兩類關(guān)系：（1） 元素與集合的關(guān)系，用或表示；（2） 集合與集合的關(guān)系，用，=表示，當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的子集；（3） 當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的真子集。如果一個(gè)集合A有n個(gè)元素（Crad(A)=n）,那么它有個(gè) 個(gè)子集， 個(gè)非空真子集

2、 注：（1）元素與集合間的關(guān)系用 符號(hào)表示；（2）集合與集合間的關(guān)系用 符號(hào)表示3、集合運(yùn)算： 交，并，補(bǔ)，定義：AB=x|xA且xB，AB=x|xA，或xB，CUA=x|xU，且xA。4命題：（1） 復(fù)合命題的形式：p且q，p或q，非p；p或q(記作“pq” )；p且q(記作“pq” )；非p(記作“q” ) （2） 或”、 “且”、 “非”的真值判斷：1）“非p”形式復(fù)合命題的真假與P的真假相反；2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真 （3）四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”，

3、逆命題為“若q則p“，逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。5、分條件與必要條件 （1）定義：對(duì)命題“若p則q”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是p的充分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱p是q的充要條件。 （2）如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。判斷兩條件間的關(guān)系技巧：（1） ；（2） 6、 反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。三 小題訓(xùn)練1、已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN 。22004

4、年全國(guó)卷三：設(shè)集合， 則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ） A.1 B.2 C.3 D.43、若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A的 條件。4（2002上海春）若全集I=R，f（x）、g（x）均為x的二次函數(shù)，P=x|f（x）0，Q=x|g（x）0，則不等式組的解集可用P、Q表示為_ _5（1996全國(guó)理，1）已知全集IN*，集合Axx2n，nN*，Bxx4n，nN*，則（ ）A.IABB.IIAB C.IAIBD.IIAIB6.（00上海春）設(shè)I是全集，非空集合P、Q滿足PQI.若含P、Q的一個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可以是 （只

5、要寫出一個(gè)表達(dá)式）四典型例題 例1（2004上海理）記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1，P=x| x21，則下列關(guān)系中正確的是 （ ） （A）MP （B）PM （C）MP （ D）6、(2005年湖北卷)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空數(shù)集，定義集合P+Q=a+b|aP，bQ。若P=0，2，5，Q=1，2，6，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是 ( )A9 B8 C7 D67、04全國(guó)卷一設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）A(A)B=I B(A)(B)=I CA(B)= D(A)(B)= B8（2000廣東，1）已知集合A=1，2，3，4，那么A的真

6、子集的個(gè)數(shù)是（ ）A.15 B.16 C.3 D.4圖719（1996上海，1）已知集合M（x，）x2，N（x，）x4，那么集合MN為（ ）A.x=3，y=1B.（3，1）C.3，1 D.（3，1）10、（1999全國(guó)，1）如圖71，I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）A.（MP）S B.（MP）S C.（MP）IS D.（MP）IS11（1995全國(guó)，1）已知I為全集，集合M、NI，若MNN，則（ ）A.IMIN B.MIN C. IMIND.MIN12、(2005年湖北卷理)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：“a=b”是“ac=bc” 的充要條件；“a+5是

7、無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；“ab”是“a2b2”的充分條件；“a5”是“a0和a2x2+b2x+c20的解集分別為集合M和N，那么“”是“M=N”的（ ）A充分非必要條件.B必要非充分條件.C充要條件D既非充分又非必要條件. 2（2005年上海市春）若是常數(shù)，則“”是“對(duì)任意，有”的 ( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件.（C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件.3、（1995上海）“ab0”是“方程ax2+by2=c表示雙曲線”的（ ）A.必要條件但不是充分條件 B.充分條件但不是必要條件C.充分必要條件 D.既不是充分條件又不是必要條件4（2001上海，3）a

8、=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+（a1）y=a7平行且不重合的（ ）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件5、（2005湖南）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分條件， 則b的取值范圍可以是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b26、（1999全國(guó)，18）、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷:mn n m以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：_.7已知集合，若，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 8、（2000上海春，15）“a=1”是“函數(shù)y=cos

9、2axsin2ax的最小正周期為”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件9、集合的子集的個(gè)數(shù)有（ ）（A）無窮多個(gè)（B）32個(gè)（C）16個(gè)（D）8個(gè)10設(shè)集合M =，若MN =，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A B C D 11、命題甲：或；命題乙：，則 （ ）A.甲是乙的充分非必要條件； B.甲是乙的必要非充分條件；C. 甲是乙的充要條件； D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件.12、已知集合，若，求的取值范圍。13、一元二次方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充分不必要條件是（ ）A B C D14(03全國(guó))已知設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)

10、遞減.Q:不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍.15（理科）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為設(shè)集合,(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2) 若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則這些點(diǎn)是否都在同一條直線上? 并說明理由;(3) “至多只有一個(gè)元素”是否正確? 如果正確, 請(qǐng)給予證明; 如果不正確, 請(qǐng)舉例說明.江蘇省贛馬中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)集合與簡(jiǎn)易邏輯教案三 典型例題1已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。解析：在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡(jiǎn)集合，或者說使集合的特征明朗化。M=

11、y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1說明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M，N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合y|y=f(x)，xA應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù)值域化簡(jiǎn)集合。此集合與集合（x，y）|y=x2+1，xR是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x2+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān)，例y|y1=x|x1。22004年全國(guó)卷三：設(shè)集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ） A.1 B.2 C.3 D.43若A是B的必要而不充分條件，C是B的充要條件，D是C的充分而不必要條件，判斷D是A

12、的什么條件。答案 ：B.4(2002上海春）若全集I=R，f（x）、g（x）均為x的二次函數(shù)，P=x|f（x）0，Q=x|g（x）0，則不等式組的解集可用P、Q表示為_.解析：利用“”、“”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系 DCBA DA，D是A的充分不必要條件說明：符號(hào)“”、“”具有傳遞性，不過前者是單方向的，后者是雙方向的。.答案：PIQ 解析：g（x）0的解集為Q，所以g（x）0的解集為IQ，因此的解集為PIQ.評(píng)述：本題以不等式為載體，重點(diǎn)考查集合的補(bǔ)集、交集的概念及其運(yùn)算，活而不難.5（1996全國(guó)理，1）已知全集IN*，集合Axx2n，nN*，Bxx4n，nN，則（ ）A.IABB.IIA

13、B C.IAIBD.IIAIB圖126.（00上海春）設(shè)I是全集，非空集合P、Q滿足PQI.若含P、Q的一個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可以是 （只要寫出一個(gè)表達(dá)式）解析：.答案： C圖14方法一：IA中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，IB中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有選項(xiàng)正確.方法二：因A2，4，6，8，B4，8，12，16，所以IB1，2，3，5，6，7，9，所以IAIB，故答案為.方法三：因BA，所以IAIB，IAIBIA，故IAIAAIB.方法四：根據(jù)題意，我們畫出文氏圖14來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=AIB是成立的.評(píng)述：本題考查對(duì)集合概念和關(guān)系的理

14、解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無限集考查，提高了對(duì)邏輯思維能力的要求.圖18.答案：PIQ 陰影部分為IQ（如圖18）顯然，所求表達(dá)式為IQP=，或IQ（QP）或IQ（QP）=.評(píng)述：本題考查集合的關(guān)系及運(yùn)算.四典型例題例 1、（2004上海理）記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定義域?yàn)锽.(1) 求A；(2) 若BA, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解】(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a0解集為；或者命題q為真命題對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立對(duì)一切正實(shí)數(shù)均

15、成立.所以，命題q為真命題a1根據(jù)題意知，命題p與q為有且只有一個(gè)為真命題. 當(dāng)命題p為真命題且命題q為假命題時(shí)a不存在；當(dāng)命題q為真命題且命題p為假命題時(shí)a的取值范圍是1，2.綜上，命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，2.錯(cuò)誤原因：對(duì)命題的真假性判斷理解不清。沒有把命題p與q的等價(jià)命題找出來，導(dǎo)致討論的問題復(fù)雜化。例4（理科）集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意xR，有f (xT)=T f (x)成立 （1）函數(shù)f (x)= x 是否屬于集合M？說明理由；（2）設(shè)函數(shù) f (x)= a x (a0，且a1)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證

16、明：f (x) = a xM.思路分析 (1)對(duì)于非零常數(shù)T，f (xT)=xT， Tf (x)=Tx 因?yàn)閷?duì)任意xR，xT= Tx不能恒成立，所以f(x)=(2)因?yàn)楹瘮?shù)f (x) = a x(a0且a1)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，所以方程組：有解，消去y得ax=x，顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT=T 于是對(duì)于f (x)=ax有 故f (x) = a xM三、鞏固訓(xùn)練1、（03北京卷）設(shè)集合等于（ A ）A D2（2002北京，1）滿足條件M1=1，2，3的集合M的個(gè)數(shù)是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：M=2，3或M=1，2，3評(píng)述：因?yàn)?/p>

17、M1，2，3，因此M必為集合1，2，3的子集，同時(shí)含元素2，3.3、全國(guó)卷四理已知集合，則集合=（ ）A0B0，1C1，2D0，24. 04湖北卷理設(shè)A、B為兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：A B對(duì)任意A B A BAB A B存在其中真命題的序號(hào)是 （把符合要求的命題序號(hào)都填上）5、（2005年北京卷理）設(shè)全集U=R，集合M=x| x1，P=x| x21，則下列關(guān)系中正確的是 （ C ） （A）MP （B）PM （C）MP （ D）6、(2005年湖北卷理)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空數(shù)集，定義集合P+Q=a+b|aP，bQ。若P=0，2，5，Q=1，2，6，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是 ( B )A9 B8 C7

18、 D67、04全國(guó)卷一理設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足AB I，則下列各式中錯(cuò)誤的是（B ）A(A)B=IB(A)(B)=ICA(B)=D(A)(B)= B8（2000廣東，1）已知集合A=1，2，3，4，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是（ A ）A.15 B.16 C.3 D.4解析：根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有241=15（個(gè)）.評(píng)述：求真子集時(shí)千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集.同時(shí)，A不是A的真子集.圖119（1996上海，1）已知集合M（x，）x2，N（x，）x4，那么集合MN為（ ）A.x=3，y=1 B.（3，1）C.3，1 D.（3，1）10、（1999全國(guó)，1）如圖11，I是全集，M、P、

19、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）A.（MP）SB.（MP）SC.（MP）IS D.（MP）IS由圖知陰影部分表示的集合是MP的子集且是IS的子集，故答案為11、（1995全國(guó)理，1）已知I為全集，集合M、NI，若MNN，則（ C ）A.IMIN B.MIN C. IMIND.MIN答案：C圖15解析一：MN=N，NM，INIM解析二：畫出韋恩圖15，顯然：IMIN.故選C.評(píng)述：本題主要考查集合的概念和集合的關(guān)系，題目中不給出具體集合，對(duì)分析問題解決問題能力提高了要求.12、(2005年湖北卷理)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：“a=b”是“ac=bc”的充要條件；“a+5

20、是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；“ab”是“a2b2”的充分條件；“a5”是“a0和a2x2+b2x+c20的解集分別為集合M和N，那么“”是“M=N”的（ ）A充分非必要條件.B必要非充分條件.C充要條件D既非充分又非必要條件. 2（2005年上海市春）若是常數(shù)，則“”是“對(duì)任意，有”的 ( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件.（C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件.3、（1995上海）“ab0”是“方程ax2+by2=c表示雙曲線”的（ ）A.必要條件但不是充分條件 B.充分條件但不是必要條件C.充分必要條件 D.既不是充分條件又不是必要條件4（2001上海，3）

21、a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+（a1）y=a7平行且不重合的（ ）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件當(dāng)a=3時(shí)，直線l1：3x+2y+9=0，直線l2：3x+2y+4=0顯然a=3l1l2.5、（2005湖南）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分條件， 則b的取值范圍可以是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b26、（1999全國(guó)，18）、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷:mn n m以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：_.7已知集合，若，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 解：易知集合滿足： 若 則，符合若 則集合滿足 且 的取值范圍為 選B 說明：此題極易錯(cuò)選為A，容易忽略的情況。8、（2000上海春，15）“a=1”是“函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件9、集合的子集的個(gè)數(shù)有（ ）