1、山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,第3章 機器人運動學(xué),3.1 機器人的位姿描述 3.2 齊次變換及運算 3.3 機器人運動學(xué)方程 3.4 機器人微分運動,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,機器人的任務(wù),山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,第3章 機器人運動學(xué),運動學(xué)研究的問題： 手在空間的位姿及運動與各個關(guān)節(jié)的位姿及運動之間的關(guān)系。 其中： 正問題：已知關(guān)節(jié)運動，求手的運動。 逆問題：已知手的運動，求關(guān)節(jié)運動。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.1 機器人的位姿描述,對于機器人來說，我們最關(guān)心它的末端執(zhí)

2、行器相對于基座的位置和姿態(tài)，簡稱為位姿。 問：我們?nèi)绾斡靡唤M關(guān)節(jié)參數(shù)來描述機器人的末端執(zhí)行器相對于基座的位姿？,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,一、機器人位姿的表示 1、位置的表示 坐標(biāo)系建立后，任意點p在空間的位置可以用一個31的位置矢量來描述；例如，點p在A坐標(biāo)系中表示為：,3.1 機器人的位姿描述,A,其中px，py，pz為P點的 坐標(biāo)分量。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,位置矢量不同于一般矢量，它的大小與坐標(biāo)原點的選擇有關(guān)。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,2、姿態(tài)（或稱方向）的表示 我們知道：兩個剛體的相對姿態(tài)

3、可以用附著與它們上的坐標(biāo)系的相對姿態(tài)來描述。,3.1 機器人的位姿描述,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,剛體的姿態(tài)可以用附著于剛體上的坐標(biāo)系（用B表示）來表示；因此，剛體相對于坐標(biāo)系A(chǔ)的姿態(tài)等價于B相對于A的姿態(tài)。 坐標(biāo)系B相對于A的姿態(tài)表示可以用坐標(biāo)系B的三個基矢量xB、yB和zB在A中的表示給出， 即AxB AxB AxB （這里前上標(biāo)A說明：B的三個基矢量在A坐標(biāo)系中表示），它是一個33矩陣，它的每一列為 B的基矢量在A中的分量表示。,3.1 機器人的位姿描述,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,即：,3.1 機器人的位姿描述,基矢量都是單位矢

4、量，因此，上式又可以寫成：,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.1 機器人的位姿描述,稱為坐標(biāo)系B相對A的旋轉(zhuǎn)矩陣。 旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)： 1、列向量兩兩正交，行向量兩兩正交。 2、列向量和行向量都是單位向量。 3、每一列是B的基矢量在A中的分量表示，同樣，每一行是A的基矢量在B中的分量表示。 4、旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，其行列式等于1。 5、它的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即：,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3、位姿的統(tǒng)一表示 定義一組四向量矩陣R P，如圖。其中， 表示j相對i的姿態(tài)， 表示j的原點相對i的位移。 我們可以將j坐標(biāo) 系相對i坐標(biāo)系描述為

5、：,p,3.1 機器人的位姿描述,34,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2.1、不同直角坐標(biāo)系之間的關(guān)系 1、平移 設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點不重合，若用31矩陣iPjorg表示坐標(biāo)系j的原點相對坐標(biāo)系i的位置，則同一點P 在兩個坐標(biāo)系中的表 示的關(guān)系為：,3.2 齊次變換及運算,P,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,2、旋轉(zhuǎn) 設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j的原點重合，但它倆的姿態(tài)不同。設(shè)有一向量P，它在j坐標(biāo)系中的表示為jP，它在i中如何表示？ 考慮分量： 即：,3.2 齊次變換及運算,i,i,i,i,j,j,j,j,p,山東

6、大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3、另一種解釋 對同一個數(shù)學(xué)表達(dá)式可以給出多種不同的解釋，前面介紹的是同一個向量在不同的坐標(biāo)系的表示之間的關(guān)系。 上述數(shù)學(xué)關(guān)系也可以在同一個坐標(biāo)系中解釋為向量的“向前”移動或旋轉(zhuǎn)，或則，坐標(biāo)系“向后”的移動或旋轉(zhuǎn)。,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,4、常用的旋轉(zhuǎn)變換 、繞z軸旋轉(zhuǎn)角 坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j的原點合，坐標(biāo)系j的坐標(biāo)軸方向相對于坐標(biāo)系i繞的z軸旋轉(zhuǎn)一個角。角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆 時鐘為正。,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09

7、/02,3.2 齊次變換及運算,2020年7月29日星期三,令:,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,、繞x軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,繞y軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,復(fù)合轉(zhuǎn)動:,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,繞任意軸的轉(zhuǎn)動 設(shè)繞k軸轉(zhuǎn)動角，則旋轉(zhuǎn)矩陣為： 其中：,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,若給定一旋轉(zhuǎn)矩陣: 則可

8、計算出：,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2 齊次變換及運算,5、聯(lián)合（平移+旋轉(zhuǎn)） 設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j坐標(biāo)原點不重合并具有不同的姿態(tài)。則空間任一矢量在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j 之間有以下關(guān)系：,設(shè)I是方向與i平行 的中間坐標(biāo)系，則：,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,若坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j之間是先旋轉(zhuǎn)變換，后平移變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,例：已知坐標(biāo)系B沿坐標(biāo)系A(chǔ)的x軸移動12個單位，并沿坐標(biāo)系A(chǔ)的y軸移動6個單位，繞坐標(biāo)系A(chǔ)的z軸旋轉(zhuǎn)30

9、，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣。 假設(shè)某點在坐標(biāo)系B中的矢量為 ，求該點在坐標(biāo)系A(chǔ)中的表示。,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為： 和 則：,3.2 齊次變換及運算,2020年7月29日星期三,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2 齊次變換及運算,3.2.2、齊次坐標(biāo)變換 為什么學(xué)習(xí)齊次坐標(biāo)表示？ 將坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)用一個矩陣統(tǒng)一表示。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,1、齊次坐標(biāo)的定義 空間中任一點在直角坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)分量用 表示，若有四個不同時

10、為零的數(shù) 與三個直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系： 則稱 是空間該點的齊次坐標(biāo)。,3.2 齊次變換及運算,3.2.2、齊次坐標(biāo)變換,以后用到齊次坐標(biāo)時，一律默認(rèn)k=1 。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2 齊次變換及運算,2、齊次坐標(biāo)變換 為何使用齊次坐標(biāo)？ 在進行聯(lián)合變換時，變換關(guān)系為：,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,將其寫成統(tǒng)一的矩陣形式則有：,3.2 齊次變換及運算,式中， 稱為齊次坐標(biāo)變換矩陣，它是一個44的矩陣。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,1）、齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義 若將齊次坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：

11、意義：左上角的33矩陣是兩個坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它描述了姿態(tài)關(guān)系；右上角的31矩陣是兩個坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關(guān)系，所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱為位姿矩陣。,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系： 任何一個齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個平移變換矩陣與一個旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即：,3.2 齊次變換及運算,注意：1、這里的平移和旋轉(zhuǎn)都是相對i坐標(biāo)系的，即絕對變換。 2、矩陣相乘的次序是不可交換的。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2 齊次變換及運算,如圖所示的兩坐標(biāo)系的位姿可以

12、有兩種理解： 1、 j先相對i旋轉(zhuǎn)，再相對i平移，即絕對變換。 2、 j先相對i 平移，再相對平移后的j旋轉(zhuǎn)，即相對變換。,可見，同樣的位姿，既可以按照絕對運動來實現(xiàn)，也可以按相對運動來理解，但兩種方法的矩陣表達(dá)式是不同的。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2 齊次變換及運算,結(jié)論：左乘和右乘原則： 絕對運動變換矩陣左乘，即先做的在右邊，后做的在左邊。 相對運動變換矩陣右乘，即先做的在左邊，后做的在右邊。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2 齊次變換及運算,例3（3-2）：已知坐標(biāo)系B先繞坐標(biāo)系A(chǔ)的z軸旋轉(zhuǎn)90，再繞坐標(biāo)系A(chǔ)的x軸旋轉(zhuǎn)90

13、，最后沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐標(biāo)系A(chǔ)與B之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣MAB。 解：絕對運動，左乘原則。 MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90) 如果上述運動為相對運動，則應(yīng)用右乘原則。有 ： MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9),山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,2）、齊次變換的逆變換 設(shè)： ，等號兩邊同乘 得： 可知： 求齊次變換的逆可按一般矩陣求逆的方法進行，也可按幾 何意義求。,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,3.2 齊次變換及運算,正、逆變換間的幾何意義：順序顛倒，符號取反，如圖所示。,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,齊次變換的逆變換 若齊次坐標(biāo)變換矩陣為： 則：,3.2 齊次變換及運算,山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02,2）、齊次變換的逆變換 設(shè)： 則：,3.2 齊次變換及運算,山