熱點02熱點02集合與常用邏輯用語1、從新高考的考查情況來看，集合是必考內容，設題難度很低，均以集合的基本運算為主，同時考查不等式的解法。該內容主要以函數(shù)、方程、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，考查學生的分類討論思想和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。2、從新高考的考查情況來看，高考對常用邏輯用語的考查涉及的知識點較廣，主要以其他知識為背景考查命題的充分條件、必要條件的判斷或量詞，題目難度中等，以選擇題和填空題為主。本節(jié)主要以函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率、統(tǒng)計、復數(shù)等為載體，結合充分條件和必要條件考查考生的轉化思想和邏輯推理核心素養(yǎng).1、與集合有關的創(chuàng)新題目是近幾年高考的一個新趨勢，試題出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算，并運用它解決相關的一些問題.解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：（1）緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關鍵所在；（2）用好集合的性質．集合的性質(概念、元素的性質、運算性質等)是破解新定義型集合問題的基礎，也是突破口，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合運算與性質．2、充分、必要條件的判斷現(xiàn)在主要就3種：1）定義法：(1)若p?q，則p是q的充分條件；(2)若q?p，則p是q的必要條件；(3)若p?q且q?p，則p是q的充要條件；(4)若p?q且qp，則p是q的充分不必要條件；(5)若pq且q?p，則p是q的必要不充分條件；(6)若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件．2）利用集合間的包含關系判斷：記條件p，q對應的集合分別是A，B，則(1)若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，或q是p的必要不充分條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，且AB，則p是q的既不充分也不必要條件．3）等價法：利用p?q與q?p，q?p與p?q，p?q與q?p的等價關系．近年來不管是新高考還是新課標或自主命題的高考題中集合和常用邏輯用語的考試以基礎題型為主，建議大家重點抓基礎，適當注意集合中的具有創(chuàng)新性的新定義問題，充要條件主要還是主要和其他版塊知識的結合。A卷（建議用時60分鐘）一、單選題1．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】結合題意利用并集的定義計算即可.【詳解】由題意可得：.故選：B.2．（2021·江蘇·高考真題）已知集合，，若，則的值是（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)集合N和并集，分別討論a的值，再驗證即可.【詳解】因為，若，經(jīng)驗證不滿足題意；若，經(jīng)驗證滿足題意.所以.故選：B.3．（2021·全國·高考真題（理））已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出結論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.4．（2021·江蘇南通·高三期中）設全集，集合，集合，則集合（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用補集和交集的定義可求得結果.【詳解】由已知可得或，因此，，故選：D.5．（2021·江蘇·南京師大附中高三期中）設U＝R，已知兩個非空集合P，Q滿足＝R，則（）A．P∩Q＝ B．PQ C．QP D．P∪Q＝R【答案】B【分析】利用韋恩圖，結合集合的交并補運算求解.【詳解】如圖所示P，Q，滿足＝R，即PQ故選：B6．（2021·山西大附中高三期中）若全集，，，則集合等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】計算，，再計算交集得到答案.【詳解】，，.故選：C.7．（2021·山東高三期中）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合、，然后利用交集的定義可計算出集合.【詳解】由得，即，因為，所以，即所以.故選：C.8．（2021·重慶一中高三期中）已知全集，集合，，則的子集個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．8個【答案】C【分析】求出集合A，再根據(jù)補集和交集的定義求出，即可得出答案.【詳解】解：，則，所以，所以的子集個數(shù)是4個.故選：C.9．（2021·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不允分也不必要條件【答案】A【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.10．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】若函數(shù)在上單調遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調遞增，故“函數(shù)在上單調遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.11．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得兩者之間的條件關系.【詳解】如圖所示，,當時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件。故選：B.12．（2021·遼寧葫蘆島·高三月考）已知命題，則是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，從而可得出答案.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以是：.故選：D.13．（2021·湖北·高三月考）已知命題：，則（）A．該命題為假命題，其否定是，B．該命題為假命題，其否定是，C．該命題為真命題，其否定是，D．該命題為真命題，其否定是，【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質判斷命題的正誤，再由特稱命題的否定：將存在改為任意并否定結論寫出題設命題的否定形式.【詳解】∵函數(shù)的值域為，∴，，故該命題是真命題，其否定是，.故選：C.14．（2021·廣東化州·高三月考）下列敘述中正確的是（）A．若，則B．若“，則”的逆否命題是真命題C．“”是“”的必要不充分條件D．“，都有”的否定是“，使得”【答案】C【分析】取特殊值可判斷A，根據(jù)原命題與逆否命題等價判斷B，解不等式后根據(jù)集合的包含關系可判斷C，由含量詞命題的否定判斷D.【詳解】時，，故A錯；“若，則”是假命題，故其逆否命題是假命題，故B錯；的解集是或，由真包含于或可知“”是“”的必要不充分條件，故C對；“，都有”的否定是“，使得”，故D錯.故選：C15．（2021·重慶巴蜀中學高三月考）命題成立的充分必要條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求命題成立的等價條件由此可得其成立的充分必要條件.【詳解】∵，∴命題成立的充分必要條件是，故選：D．二、多選題16．（2021·山東菏澤·高三期中）已知集合，則（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】化簡集合A,B，利用集合的基本運算即可知正確選項.【詳解】，，，,，故AC正確，B錯誤，又集合之間的關系為包含與不包含，所以D錯誤.故選：AC17．（2021·全國·高三專題練習）設全集，集合，，則（）A． B．C． D．或【答案】BD【分析】先通過一元二次不等式的計算可得，，再根據(jù)集合的運算逐項計算即可得解.【詳解】由題知，，或，所以，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；或，故D正確.故選：BD．18．（2021·江蘇省天一中學高三月考）已知集合，集合，則下列說法正確的是（）A．(0，0)∈B B．AB={0，1} C．B=[0，+∞) D．BA【答案】CD【分析】求出函數(shù)y=x和函數(shù)y=的值域分別得集合A和集合B，再逐一驗證各選項判斷作答.【詳解】依題意，，，對于A，，而，A不正確；對于B，，B不正確；對于C，因，則C正確；對于D，因，即BA，D正確.故選：CD19．（2021·湖南·高三月考）命題：，.命題：每個正三棱錐的三個側面都是正三角形.關于這兩個命題，下列判斷正確的是（）A．是真命題 B．：，C．是真命題 D．：每個正三棱錐的三個側面都不是正三角形【答案】AB【分析】根據(jù)全稱命題、存在命題的否定形式可判斷BD的正誤，根據(jù)反例可判斷A的正誤，根據(jù)正三棱錐的定義可判斷C的正誤.【詳解】的否定為，，故B正確.因為，，所以的否定為假命題，故是真命題，故A正確.對B，每個正三棱錐的三個側面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故為假命題，故C錯誤，而為：存在一個正三棱錐，它的三個側面不都是正三角形，故D錯誤.故選：AB.20．（2021·廣東肇慶·模擬預測）下列四個命題中，真命題是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BC【分析】構造，求導得到單調區(qū)間，計算函數(shù)的最小值得到恒成立，A錯誤，再直接判斷BCD的正誤得到答案.【詳解】，則，函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，故，故恒成立，故A錯誤；，，故B正確；，，C正確；，，故D錯誤.故選：BC.三、填空題21．（2021·上?！じ裰轮袑W高三月考）已知集合，，則__________.【答案】.【分析】先解出集合P，M，進而求出交集即可.【詳解】由題意，，，則.答案為：.22．（2021·福建省大田縣第一中學高三期中）某班有名同學參加語文、數(shù)學、英語興趣小組.已知僅參加一個興趣小組的同學有人，同時參加語文和數(shù)學興趣小組的同學有人，同時參加數(shù)學和英語興趣小組的同學有人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有人，則同時參加這三個興趣小組的同學有人___________.【答案】【分析】以集合、、表示分別參加語文、數(shù)學、英語興趣小組的學生，作出圖形，設同時參加這三個興趣小組的同學有人，根據(jù)已知條件可得出關于的方程，解出的值即可.【詳解】以集合、、表示分別參加語文、數(shù)學、英語興趣小組的學生，如下圖所示：設同時參加這三個興趣小組的同學有人，由圖可得，解得.故答案為：.23．（2021·北京市第三十五中學高三期中）命題“”的否定是_________．【答案】【分析】利用全稱命題的否定解答.【詳解】因為全稱量詞的命題的否定是存在量詞的命題，所以命題“”的否定是“”.故答案為：四、解答題24．（2021·河南駐馬店·高三月考）已知集合，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍;（2）當時，若，求實數(shù)的取值范圍;【答案】（1）（2）【分析】（1）計算，根據(jù)得到，考慮，兩種情況，解得答案.（2）考慮，兩種情況，得到或，解得答案.（1），若，則，當時，，解得，成立；當時，，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2），當時，，解得；當時，或，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是25．（2021·江蘇淮安·高三期中）已知集合，.（1）若，求；（2）是的___________條件，若實數(shù)的值存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.（請在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任選一個，補充到空白處）注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（1）或（2）條件選擇見解析，答案見解析【分析】（1）求出集合、，利用補集和的交集的定義可求得結果；（2）求出集合，根據(jù)所選條件可得出集合、的包含關系，可得出關于實數(shù)的不等式組，解之即可得出結論.（1）解：由不等式，解得，可得當時，不等式，解得，即，可得或，所以或.（2）解：由不等式，解得，所以.若選擇條件①，則集合是的真子集，得，解得.當時，，，合乎題意；若選擇條件②，則集合是的真子集，得，解得.當時，，則，合乎題意；若選擇條件③，則集合，得無解，所以不存在滿足條件③的實數(shù).26．（2021·山東日照·高三月考）已知集合，，.（1）當時，是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或【分析】（1）解不等式確定集合，確定集合，然后充分條件得集合包含關系，從而可得參數(shù)范圍；（2）求得的補集，分類討論確定集合，根據(jù)包含關系可得結論．（1），，，時，，是的充分條件，即，所以，解得，所以的取值范圍是．（2），，由（1）知時，滿足題意，時，，則或，或，所以或，時，，，因此，綜上，或．27．（2021·福建高三月考）已知集合，.求：（1）若，求實數(shù)的取值范圍.（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，討論和即可；（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義轉化為集合關系進行求解即可.【詳解】（1）由，，當時，，得，適合題意；當時，則或，得.綜上所述.實數(shù)的取值范圍.（2）由題意，“”是“”的充分不必要條件，則，又，.所以，解得，∴實數(shù)的取值范圍為.B卷（建議用時90分鐘）一、單選題1．（2021·云南師大附中高三月考）已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，再由集合的包含關系即可求解.【詳解】由于，任取，則，其中，即，所以，則有，故選：C．2．（2021·全國·高三月考）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】判斷出即可.【詳解】，從而，.故選：C3．（2021·天津市第四十七中學高三期中）設，已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設可得，根據(jù)已知集合的并集結果即可求的取值范圍.【詳解】由題設，，又，，∴.故選：D4．（2021·四川·雙流中學高三期末）已知函數(shù)，，集合，集合，若集合只含有一個元素，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)解絕對值不等式的方法，結合交集的定義進行求解即可.【詳解】或，由或，由或，所以，因為集合只含有一個元素，，所以，故選：D5．（2021·全國·高三專題練習）如圖，是全集，是的子集，則陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用陰影部分所屬的集合寫出陰影部分所表示的集合．【詳解】解：由圖知，陰影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，故陰影部分所表示的集合是.故選：C.6．（2021·全國·高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．7．（2021·山東文登·高三期中）設p：關于x的方程有解；q：函數(shù)在區(qū)間上恒為正值，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先化簡p,q，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為方程有解,即方程有解，令，則，即；因為函數(shù)在區(qū)間上恒為正值，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，解得，所以p是q的必要不充分條件，故選：B二、多選題8．（2021·重慶·西南大學附中高三月考）已知集合（），定義上兩點，的距離，則下列說法正確的是（）A．若，，則B．設點，，，在中，，則C．設點，，，在中，若，則D．設點，，，則【答案】AD【分析】根據(jù)定義上兩點的距離，結合距離的運算公式和不等式的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由兩點，的距離，對于A中，,，可得，所以A正確；對于B中，因為，可得，設，則，而，當不一定成立，所以B錯誤；在中，若，可得，而，所以不一定成立，從而不一定成立，所以C不正確；由點，，，設，可得，因為，所以，所以D正確.故選：AD.9．（2021·重慶市第七中學校高三月考）已知集合，集合，集合，則（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】先求出集A，B，D，再逐個分析判斷即可【詳解】由，得，所以，由，得且，得或，所以或，由，得，所以，對于A，，所以A錯誤，對于B，，所以B正確，對于C，因為或，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，因為或，所以，所以D正確，故選：BCD10．（2021·全國·高三月考）已知集合，滿足，，全集，則下列說法中可能正確的有（）A．沒有最大元素，有一個最小元素 B．有一個最大元素，沒有最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素 D．沒有最大元素，也沒有最小元素【答案】ABD【分析】根據(jù)新定義，并正確列舉集合A和B，然后判斷各選項即可.【詳解】對于選項A：若，，，，則沒有最大元素，有一個最小元素，故A可能成立；對于選項B：若，，A有一個最大元素，B沒有最小元素，故B可能成立；對于選項C：A有一個最大元素，B有一個最小元素不可能，因為這樣就有一個有理數(shù)不存在A和B兩個集合中，與A和B的并集是所有的有理數(shù)矛盾；故C不可能成立.對于選項D：若，，則A沒有最大元素，B也沒有最小元素，故D可能成立；故選：ABD.11．（2021·江蘇·南京市第十三中學高三月考）設，，若，則實數(shù)的值可以是（）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可以得到，進而討論和兩種情況，最后得到答案.【詳解】由題意，，因為，所以，若，則，滿足題意；若，則，因為，所以或，則或.綜上：或或.故選：ABC.12．（2021·江蘇省南菁高級中學高三月考）已知?均為實數(shù)集的子集，且，則下列結論中正確的是（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】由題可知，利用包含關系即可判斷.【詳解】∵∴，若是的真子集，則，故A錯誤；由可得，故B正確；由可得，故C錯誤，D正確.故選：BD.13．（2021·江蘇南京·高三開學考試）設集合，，，，，中至少有兩個元素，且，滿足：①對于任意，，若，都有；②對于任意，，若，則；下列情況中可能出現(xiàn)的有（）A．有4個元素，有7個元素 B．有4個元素，必有6個元素C．有3個元素，有5個元素 D．有3個元素，有4個元素【答案】ACD【分析】利用特殊集合排除選項，推出結果即可．【詳解】取，2，，則，4，，，2，4，，4個元素，所以選項C可能；，4，，則，16，，，4，8，16，，5個元素，所以選項D可能；，4，8，，則，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7個元素，所以選項A可能，排除選項B.故選：ACD14．（2021·重慶市清華中學校高三月考）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（）A．M沒有最大元素，N有一個最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M有一個最大元素，N沒有最小元素【答案】ABD【分析】舉特例根據(jù)定義分析判斷，進而可得到結果．【詳解】令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；假設答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的；令，，顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能.故選：ABD．15．（2021·福建·模擬預測）兩個集合和之間若存在一一對應關系，則稱和等勢，記為．例如：若為正整數(shù)集，為正偶數(shù)集，則，因為可構造一一映射．下列說法中正確的是（）A．兩個有限集合等勢的充分必要條件是這兩個集合的元素個數(shù)相同B．對三個無限集合、、，若，，則C．正整數(shù)集與正實數(shù)集等勢D．在空間直角坐標系中，若表示球面：上所有點的集合，表示平面上所有點的集合，則【答案】ABD【分析】利用對應關系結合充分必要條件的定義可判斷A選項的正誤；利用等勢的定義可判斷B選項的正誤；利用反證法可判斷C選項的正誤；數(shù)形結合可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，設有限集合，，充分性：若，則兩個集合和之間若存在一一對應關系，則對任意的，存在，使得與對應，故，充分性成立.必要性：若，即集合、的元素個數(shù)相等，可構造映射，使得，故，必要性成立，A對；對于B選項，對三個無限集合、、，若，對任意的，存在唯一的，使得與對應，又因為，則存在唯一的，使得與對應，故對任意的，存在唯一的，使得與對應，故，B對；對于C選項，正整數(shù)集與正實數(shù)集不等勢，理由如下：假設正整數(shù)集與正實數(shù)集等勢，則存在與的一個一一對應，將與中對應的元素記為，則中的元素可以排成一列：、、、、，顯然中至少有一個單位長度的區(qū)間不包含，不妨設此區(qū)間為，將三等分，則、中至少有一個區(qū)間不含，以表示此區(qū)間，將三等分，其左、右兩個區(qū)間至少有一個不含，記為，依此類推，可得一列閉區(qū)間滿足：（i），且的長度趨于；（ii），、、、.所以，，但對任意的，，換言之，不在中，這是不可能的，這一矛盾說明，與不等勢，C錯；對于D選項，如下圖所示：球面方程為，球面與軸的正半軸交于點，對于球面上任意一點（不與點重合），設直線交平面于點，則球面上的點（不與點重合）與平面內的點能建立一一對應關系，假定在平面上有一理想的點稱之為無窮遠點，它與點對應，這樣，D對.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合中的新定義，充分理解等勢的定義，結合代數(shù)式法以及數(shù)形結合找到對應關系是解題的關鍵，在判斷選項錯誤時，可充分利用反證法來進行推理.16．（2021·山東·高三專題練習）對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（）A．若A，且，則B．若A，且，則C．若A，且，則D．存在A，，使得【答案】ABD【分析】根據(jù)新定義及交、并、補集運算，逐一判斷即可．【詳解】解：對于A選項，因為，所以，所以，且B中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即選項A正確；對于B選項，因為，所以，即與是相同的，所以，即選項B正確；對于C選項，因為，所以，所以，即選項C錯誤；對于D選項，時，，，D正確；故選：ABD．17．（2021·江蘇如皋·高三期中）若實數(shù)，滿足，則使得成立的一個充分不必要條件是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)充分不必要條件，再結合特值法依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，因為，時，所以，，則，滿足充分性，若，，滿足，，不滿足，即不滿足必要性，即：是的一個充分不必要條件，故A正確.對選項B，因為，，所以，取，，則，此時不是小于1，故B錯誤.對選項C，，，，即，時，，但此時，故C錯誤.對選項D，，則，∴，∴，∴由可知，即，，滿足充分性，由，得，不能得到，不滿足必要性，故D正確.故選：AD18．（2021·廣東·高三月考）下列說法正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．若a、，則“”是“a、b不全為0”的充要條件C．命題“，都有”的否定是“，使得”D．命題“若，則”的否定是真命題【答案】ABD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質，結合充分、必要條件的判定方法，可判定A正確；根據(jù)不等式的性質和充分、必要條件的判定方法，可判定B正確；根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可判定C錯誤，根據(jù)命題與非真假相反，可判定D正確.【詳解】對于A中，當時，可得成立，即充分性成立；反之：當時，可得，所以不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，所以A正確；對于B中，由，可得不全為0，即充分性成立；反之：若不全為0，可得成立，即必要性成立，所以“”是“a、b不全為0”的充要條件，所以B正確；對于C中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可得命題“，都有”的否定是“，使得”，所以C不正確；對于D中，當時，，所以命題為假命題，所以命題的否定為真命題，所以D正確.故選：ABD19．（2021·湖北·高三期中）下列命題為真命題的是（）A．命題：“，”的否定為：“，”B．若，，為實數(shù)，則“”是“”的充分不必要條件C．平面向量，的夾角為銳角的充要條件是D．若，為實數(shù)，則是的充要條件【答案】AB【分析】A由特稱命題的否定：存在變任意并否定結論，寫出否命題即可判斷正誤；B、D利用充分、必要性的定義，結合特殊值法判斷正誤；C注意平面向量夾角為0的特殊情況.【詳解】A：由特稱命題的否定可知：命題的否定為“，”，故正確；B：由“”，此時，故必有“”，當“”時，若推不出“”，故正確；C：非零平面向量，的夾角為0時也有，當，的夾角不為銳角，故錯誤；D：當時，由不能推出，故錯誤.故選：AB三、填空題20．（2021·湖北·高三期中）若集合，，，，且滿足集合中最大的數(shù)大于集合中最大的數(shù)，則稱有序集合對為“兄弟集合對”.當時，這樣的“兄弟集合對”有_________對；當時，這樣的“兄弟集合對”有___________對（用含有的表達式作答）.【答案】14【分析】當時，分別對集合中最大數(shù)為1，2和3進行討論即可；當時，先找出集合中最大數(shù)為時，集合和的個數(shù)，再結合等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】由題意可知，時，.當集合中最大數(shù)為1，即時，無滿足題意的集合；當集合中最大數(shù)為2，即或時，只有一種滿足題意的集合，此時“兄弟集合對”有種；當集合中最大數(shù)為3，即，，或時，滿足題意的集合有，和三種可能，此時“兄弟集合對”有種；故當時，這樣的“兄弟集合對”有種.若集合中最大數(shù)為時，集合的個數(shù)為的子集個數(shù)，即個，此時集合的個數(shù)為的真子集個數(shù)，即個，因此這樣的“兄弟集合對”有種，故當時，這樣的“兄弟集合對”有：種.故答案為：14；.21．（2021·云南師大附中高三月考）若，集合，集合且，現(xiàn)將滿足條件的每一個集合中的最小元素取出，然后將取出的所有元素相加，相加的結果記為，那么______，_______________________.【答案】【分析】由不等式求解得，根據(jù)集合且，分類討論判斷最小元素為，，，……，對應的情況，然后求和，再利用錯位相減法計算.【詳解】∵，解得，∴，對于數(shù)，集合有子集個，∴以作為最小元素被計算的次數(shù)為，總和為，同理以作為最小元素被計算的次數(shù)為，總和為，以作為最小元素被計算的次數(shù)為，總和為，依此類推，故所求結果，則，∴，得.故答案為：；；【點睛】一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．22．（2021·陜西·西安中學高三月考）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】解不等式求出集合，，由可得，再結合包含關系即可求解.【詳解】因為，，由可得，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.23．（2021·河南駐馬店·高三月考（理））在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即.給出下列四個結論.①；②；③；④“整數(shù)屬于同一“類””的充要條件是“”.其中正確的結論是__________（填所有正確的結論的序號）.【答案】①③④【分析】根據(jù)“類”的定義可判斷①②③的正誤；根據(jù)“類”的定義結合充分條件、必要條件的定義可判斷④的正誤.【詳解】對于①，，則，①正確；對于②，，則，②不正確；對于③，任意整數(shù)除以，余數(shù)可以且只可以是四類，則，③正確；對于④，若整數(shù)、屬于同一“類”，則整數(shù)、被除的余數(shù)相同，可設，，其中、，，則，故，若，不妨令，則，顯然，于是得，，即整數(shù)屬于同一“類”，“整數(shù)屬于同一“類””的充要條件是“”，④正確．正確的結論是①③④.故答案為：①③④.24．（2021·上?！偷└街懈呷_學考試）設集合，集合.若中恰含有2個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________【答案】【分析】求出中不等式的解集確定出，由與交集中恰有兩個整數(shù)，得到（2）且（3）且，解不等式即得解．【詳解】解：由中不