第20講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

醯而

1.函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，(無(wú))>0,則/U)為增函數(shù)，若，M<0,則

火了)為減函數(shù).

2.求可導(dǎo)函數(shù)八》)單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)確定依)的定義域；

⑵求導(dǎo)數(shù)/(x)；

(3)令/(x)>0(或:(x)<0),解出相應(yīng)的尤的取值范圍；

(4)當(dāng)廣(x)>0時(shí),/U)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)廣(x)<0時(shí),穴x)在相應(yīng)區(qū)間上是

減函數(shù).

3.常用結(jié)論

(1)/'(x)>0(或/'(x)<0)是/U)在(%b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件.

(2)/(x)N0(或/'(x)W0)(f(功不恒等于0)是兀0在(m6)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件.

(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)7U),(xo)=O”是“函數(shù)兀0在x=xo處有極值”的必要不充分條件.

QE3?0-----------------------------------

1、【2022年全國(guó)甲卷】已知a=||,力=cos；,c=4sin$貝|()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】

由：=4tan；結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>b；構(gòu)造函數(shù)/(%)=cosx+一i,%e(0,+8),

D42

利用導(dǎo)數(shù)可得b>a,即可得解.

【詳解】

因?yàn)?4tan"因?yàn)楫?dāng)xe(0)=),sinx<x<tanx

所以tan：>：，即g>l,所以c>b；

440

設(shè)/(久)=COSX+1%2—1,XG(0,4-oo),

/(%)=-sinx+%>0,所以/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

財(cái)()>/(0)=0,所以cos；-||>0,

所以b>Q,所以c>b>a,

故選：A

2、【2022年新高考1卷】設(shè)a=O,leai,。=/c=-ln0.9,貝l]()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,b,c的大小.

【詳解】

設(shè)/'(久)=ln(l+x)-x[x>-1),因?yàn)?''(%)=士-1=一W，

當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xe(0,+8)時(shí)尸(%)<o,

所以函數(shù)/'(%)=ln(l+%)-%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以居)<"0)=0,所以1嗎一統(tǒng)0,故>1嗎=—ln0.9,即b>c,

所以/(—5</(0)=0,所以In^+^VO,故2V一行,所以工為〈上

ioio丁ioioeioe9

故a<b,

xx

設(shè)g(%)=xe+ln(l-x)(0<x<1),貝=(%+l)e+=漢+、

令九(%)=ex(%2—1)+1,九'(%)=ex(%2+2%—1),

當(dāng)0<%<近一1時(shí)，〃(%)<0,函數(shù)<%)=ex(x2-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)a一1V久V1時(shí)，//(%)>0,函數(shù)九(%)=ex(%2-1)+1單調(diào)遞增，

又九(0)=0,

所以當(dāng)Ovxv魚(yú)一1時(shí)，/i(x)<0,

所以當(dāng)0V%V四一1時(shí),“(%)>0,函數(shù)9(%)=+ln(l-％)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=OSPO.le01>-ln0.9,所以a>c

故選：C.

r-QQflUQ-----------------------------------------

1、.函數(shù)式x)=3+xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)7(x)的定義域?yàn)?0,+°°),且了(x)=ln尤+x[=lnx+l,令了(x)<0,解得

0<x<p故人功的單調(diào)遞減區(qū)間是

3

2、函數(shù)f(x)=ax3+bx2+ex+d的圖像如圖，則函數(shù)y=ax2+/bx+gc的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(―oo，—2]

B-[2，+8)

C.[-2，3)

D-[I，+8)

【答案】。

【解析】由題圖可知d=0.不妨取a=l，：f(x)=x3+bx2+cx，，f'(x)=3x?+2bx+c.由

3

圖可知？(一2)=0，f’(3)=0，???12—4b+c=0，27+6b+c=0，???b=一]，c=—18.???y=

X2—^X—6'y'=2x—*當(dāng)x>2時(shí)7>0>.,.y=x2—^x—6的單調(diào)遞增區(qū)間為*,+°°).

故選D.

3、函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是()

ABCD

【答案】D

【解析】由了(x)的圖象可知五x)的單調(diào)性為減一增一減一增，且極大值點(diǎn)為正，故選D.

4、下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y(x)=sin2x

B.g(尤)=%3—尤

C.h(x)=xex

D.m(x)=-x+lnx

【答案】C

【解析】對(duì)于A,Kr)=sin2x是周期函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上無(wú)單調(diào)性，不符合題意；對(duì)

于B,g，(x)=3f—1.令g，(x)>0,得x>乎或x<—率所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(―8,一坐),(坐，

+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一坐，坐)上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于C,"(x)=ex(x+l).

當(dāng)尤>0時(shí)，〃(x)>0,所以函數(shù)以x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于D,m'(x)

1—X

=丁(尤>0).令他'(x)>0,得。<%<1，所以函數(shù)7"(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+

8)上單調(diào)遞減，不符合題意.

￡3團(tuán)副周

考向一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(l)f(x)=x3—^x2—2x+3；

(2)g(x)=x2—21nx.

【解析】(l)???f(x)=3x2—x—2=(3x+2)(x—1)，定義域?yàn)镽，

???當(dāng)/(x)>0時(shí)，%￡(—8，一|)U(1，+8)；當(dāng)/(x)VO時(shí)，％￡(—I，］).

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(一8,一l)和(1，+8)，單調(diào)減區(qū)間為(一?，:I).

(2)g，(x)=2x————『——-，定義域?yàn)?0，+8)，令g，(x)=0，解得：1=1或

x=-1(舍去),列表：

(0>1)1(1?+°°)

g'(x)—0+

g(x)減極小值用

???函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(1，+8)，單調(diào)減區(qū)間是(0，1).

2

變式1、知函數(shù)危)=x+1+lnx,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2

【解析】因?yàn)閒ix)=x+-+Inx(x>0),

21X2+X—2

所以/(%)=1—/+1=-P-(x>0).

令/(x)=。，解得X=-2(舍去)或x=l,

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)<0;

當(dāng)xd(l,+8)時(shí)，/(尤)>0,

故函數(shù)段)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),單調(diào)增區(qū)間為(1,+8).

變式2、(1)函數(shù)八尤)=得］的減區(qū)間是()

A.(—8,2)B.(2,+8)

c.d，+8)D.(3,+8)

【答案】C

【解析】因?yàn)槎?=h，所以/(?=『?，令/(x)<。，解得

(2)設(shè)於)=譚黑，討論的單調(diào)性.

m【解答】由題=得一函皿數(shù).-的定、?義3域、，為R,f,(2--+-c-o-s-x-)色cosx—si號(hào)nx(—sin一r)2c?osx令+1人

12兀2,7112,71

f(x)>0,得cosx>—2，即2E—w<x<2E:+w(Z￡Z),令/(x)<0,得cosxv-即2攵兀十W

<x<2lai+y(Z:eZ).故於)的增區(qū)間為(2加一律2E+芝)(Z:GZ),減區(qū)間為

(2E+華，2M+華)(kGZ).

3)已知xd(0,兀)，則函數(shù)/(x)=eXcosx的增區(qū)間為()

A.(0,舒B,(0,苧)

C.(0,?D.唐力

【答案】C

【解析】因?yàn)槲?=e'cosx,所以/(x)=(cosx-sinx)ex,令/(x)=0,解得x=；,當(dāng)xG(0,雪

時(shí)，/(x)>0,當(dāng)xe(；,無(wú))時(shí)，/(無(wú))<0,所以應(yīng)x)在(0,上單調(diào)遞增，在件兀)上單調(diào)遞

減，所以/U)在(0,兀)上的增區(qū)間為

方法總結(jié)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)

求導(dǎo)函數(shù)f'(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0和寅x)O；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確

定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)以后要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行整理并因式分解，方便后面求

根和判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).

考向二給定區(qū)間求參數(shù)的范圍

例2、已知函數(shù)人x)=V一依一1.若大x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】因?yàn)槿四嗽赗上是增函數(shù)，

所以y(x)=3f—在R上恒成立，

即aW3f對(duì)xGR恒成立.

因?yàn)?/20,所以aWO,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,0].

變式1、五尤)=/—ar—1若八%)在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】由題意，得了(x)=3/—aWO在區(qū)間(一1,1)上恒成立，

即在區(qū)間(一1,1)上恒成立.

因?yàn)橐?VX<1,所以3/<3,所以。23,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,+8).

變式12、兀1)=/一"一1若兀r)的單調(diào)減區(qū)間為(一1,1),求實(shí)數(shù)。的值.

【解析】由例題可知，

/U)的單調(diào)減區(qū)間為(一華，華)，

所以理^=1,解得。=3,

故實(shí)數(shù)a的值為3.

變式3、/)=V—辦一1若/U)在區(qū)間［1,+8)上不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】因?yàn)榱?無(wú))=3/—%且段)在區(qū)間［1,+8)上不具有單調(diào)性，

所以了(x)=0即。=3/在區(qū)間［1,+8)上有解.

當(dāng)時(shí)，3f，3,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［3,+°°).

變式4、(2022河北省級(jí)聯(lián)測(cè))若函數(shù)段)=(爐+加巾在［-g,1］上存在減區(qū)間，則山的取

值范圍是—.

【答案】(一8,|)

【解析】f'(x)=(2x+m)ev+(A2+mx)ex=［A2+(m+2)x+m］ex,則原問(wèn)題等價(jià)于/(x)<0在

■iqriq—x2—2xr1~

—5,1J上有解，即^+(m+2)x+m<0在［一￡,1)上有解，即吁］在［一手］上有

——2x

解.因?yàn)橐籮-.—=—(x+l)+-j7，且>=一(尢+1)+二=在一弓，1上單調(diào)遞減，所以當(dāng)

Xi1X\1%十1N_

33

X=_］時(shí)，ymax=—（一］+lJ+-j---所以m<2.

-2+1

方法總結(jié)：1.明晰導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義在解題中的應(yīng)用，強(qiáng)化方程的思想，培養(yǎng)基本運(yùn)

算能力.

2.辨析區(qū)間上單調(diào)和區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間的本質(zhì)區(qū)別和處理策略的不同，提升參變分

離和構(gòu)造函數(shù)等解決問(wèn)題的方法和技巧，感悟數(shù)學(xué)解題背后的思維和內(nèi)涵.

考向三函數(shù)單調(diào)區(qū)間的討論

例3、已知函數(shù)"x)=x+—-m—+lnxG.當(dāng)相>1時(shí)，討論/(%)的單調(diào)性;

【解析】函數(shù)/(力的定義域?yàn)?0,+8).

加一］mx2-mx+m-l(x-l)［x-(m-l)］

J⑺=1+-%2------X--=-----------2--------=------------X-2-----------，

因?yàn)閙>1,所以加一1>0,

①當(dāng)0V加一1<1,即1<加<2時(shí)，

由/'(X)>。得X>1或XV加一1,由/'(X)<。得加一1<X<1,

所以“X)在(0,m—1),(1,+8)上是增函數(shù)，在(m―1,1)上是減函數(shù)；

②當(dāng)相—1=1,即m=2時(shí)/'(%)20,所以/(九)在(0,+巧上是增函數(shù);

③當(dāng)7%一1〉1,即機(jī)>2時(shí)，由/'(%)>0得％〉和一1或工<1,由/'(%)<0得1<］<772-1,

所以/（%）在（0,1），（帆―Ly）.上是增函數(shù)，在（1,加—1）.上是減函

綜上可知：

當(dāng)1（加＜2時(shí)/（力在（0,m—1）,。,+⑹上是單調(diào)遞增，在（加―1,1）上是單調(diào)遞減;

當(dāng)m=2時(shí)，/（力在（0,+"）.上是單調(diào)遞增;

當(dāng)相＞2時(shí)/（可在（0,1）,（機(jī)―1,+8）上是單調(diào)遞增，在。，m―1）上是單調(diào)遞減.

變式1、已知函數(shù)/（?=；加一（a+l）x+lnx,a＞0,試討論函數(shù)y=/（x）的單調(diào)性.

【解答】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,f'⑴=辦—（°+1）+；=g1=

（◎—2（x—l）①當(dāng)即:＞1時(shí)，若無(wú)e（0,l）和白，+8）,則/（無(wú)）＞0；若鄉(xiāng)，

JiCl\jWy\Cly

則/（x）＜0.所以函數(shù)應(yīng)0在（0,1）,e，+8）上單調(diào)遞增，在［1,0上單調(diào)遞減.②當(dāng)。=1,

即5=1時(shí),/（X）》。在（0,+8）上恒成立，所以函數(shù)本）在（0,+8）上單調(diào)遞增.③當(dāng)fl＞l,

即0＜31時(shí)，若xG（0,力和（1,+8）,則/（戲＞0；若xwg,1）,則/（x）＜0.所以函數(shù)

兀0在（0,0,（1,+8）上單調(diào)遞增，在2,1）上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)0＜°＜1時(shí)，函數(shù)兀0

在（0』），+8）上單調(diào)遞增，在（1,力上單調(diào)遞減；當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)大x）在（0,+8）上

單調(diào)遞增；當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)次尤）在（0,0,（1，+8）上單調(diào)遞增，在七，1）上單調(diào)遞減.

變式2、已知函數(shù)/（x）=（a-Dlnx+a^+l,討論函數(shù)_/（x）的單調(diào)性.

a-12QA+a—1

【解析】由題意，得函數(shù)人r）的定義域?yàn)椋?,+-）,f（x）=-+2ax=---------.

①當(dāng)時(shí)，了（乃＞0,故函數(shù)網(wǎng)）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)aWO時(shí)，/（x）＜0,故函數(shù)人打在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減；

/1-a/1-a

③當(dāng)0＜。＜1時(shí)，令/（x）=0,解得（舍負(fù)），則當(dāng)xe（0,時(shí)，f（x）

＜0；

/1—a

當(dāng)XG'HT，+8）時(shí)，/㈤＞0，

/1—a/1-a

故函數(shù)夫無(wú)）在區(qū)間（0,上單調(diào)遞減，在區(qū)間（胃下不，+8）上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)式元）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)式x）在區(qū)間（0,

/1—CL/1—CL

+8）上單調(diào)遞減；當(dāng)0*＜1時(shí)，函數(shù)｛X）在區(qū)間（0,、/年）上單調(diào)遞減，在區(qū)間C\JH，

+8）上單調(diào)遞增

方法總結(jié)：對(duì)含參函數(shù)的合理分類，關(guān)鍵是找到引起分類討論的原因.

2.會(huì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，求導(dǎo)以后進(jìn)行整理并因式分解，其中能否因式分解、每個(gè)因式

系數(shù)的正負(fù)、根的大小等都是引起分類討論的原因.

考向四構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性

例4、（多選題）已知定義在0指上的函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)為/'（尤），且"0）=0,

f\x）cosx+/（x）sinX<0,則下列判斷中正確的是（）

【答案】CD

■Az、f(x)「八…，/、f'(x)cosx+f(x)sinx

【解析】令g(%)=4?,XG0,-,則，(%)二42----#2——,

cosxL2)cosx

因?yàn)榱?(%)cosx+/(x)sinx<0,

所以g'(x)='(x)cosx/(x)sinx<0在^^上恒成立,

cosx\_2J

因此函數(shù)g(x)=」?在o,g］上單調(diào)遞減，

cosx2)

7171/1

因此g>g,即,故A錯(cuò);

n

cos—cos—71

64

又/（0）=0,所以g（0）=J"=0,所以g（x）=J至<0在上恒成立,

cosOcos尤L2）

因?yàn)閘n?e0,7^1\,所以71故B錯(cuò);

23

故C正確;

63

故D正確;

故選：CD.

變式1、（2022?重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知函數(shù)對(duì)于任意的xe都

有廣(x)cosx-/(x)sinx>0,則下列式子成立的是(

C.72/(0)<fD.2/(0)>f

【答案】BC

【分析】

根據(jù)條件構(gòu)造g(x)=/(x)cosx,求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)性比較大小及可.

【詳解】

令g(x)=/(x)cosx,

對(duì)于任意的xe0,^1,gf(x)=/(x)cos%=f'(x)cos%-/(x)sinx>0,

所以g(x)=/(x)cosx在0,1J上單調(diào)遞增,

g(0)<g￡)o/(0)cos0</(^)cos^oV2/(0)</(7),C正確；

g(。)<g(f)o/(0)cos0<7(f)cosf?2/(0)<嗚),D不對(duì).

故選：BC.

變式2、(2022.江蘇鹽城?三模)已知((x)為"%)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足"0)=1,對(duì)任意的x總

有2/(x)-"x)>2,則不等式的解集為.

【答案】[0,田)

【分析】

，、f(x]+2

構(gòu)造新函數(shù)g(x)=；，利用已知條件〃x)>2,可以判斷g(x)單調(diào)遞增，

利用g(x)的單調(diào)性即可求出不等式的解集

【詳解】

[〃司+2]2-(無(wú))一〃尤)一2

設(shè)函數(shù)g(無(wú))="2+2,貝,'("=

7

又?2f'(x)-f(x)>2:.g'(x)>0

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(O)=/(O)+2=3

故不等式+223,可化為g(%)2g(0)

由g(x)的單調(diào)性可得該不等式的解集為［0,-).

故答案為：［0,”)

方法總結(jié)：(1)對(duì)于不等式(x)+g'(x)〉0(或<0),構(gòu)造函數(shù)尸(x)=F(x)+g(x)；

(2)對(duì)于不等式f'(x)—g'(力〉0(或<0),構(gòu)造函數(shù)6(x)=f(x)—g(x)；

特別地，對(duì)于不等式f(x)>A(或〈A)(AW0),構(gòu)造函數(shù)b(x)=f(x)—4x.

(3)對(duì)于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)/(x)=f(x)g(x)；

fV

(4)對(duì)于不等式/(x)g(x)—F(x)g，(x)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)尸(x)=8*(g(x)W0)；

(5)對(duì)于不等式x/(分+丹才)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)/(x)=M(x)；

fV

(6)對(duì)于不等式xf'(x)—F(x)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)/(x)=---------(xWO)

x

1、(2022.廣東惠州二模)若函數(shù)f(x)=e'+￡在［1,2］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】(f,e］

【解析】因?yàn)槿擞?=0工+@,所以尸(x)=e，-二，

XX

又函數(shù)〃口=/+0在［1,2］上單調(diào)遞增，

X

所以「(幻=?，-m20在彳《1,4恒成立，

分離參數(shù)可得a<在x目1,4恒成立，

令g(x)=j^ex,g'(x)=2xex+de*=旄，(尤+2)>0,

所以g(尤)=x/在％qi,2］上單調(diào)遞增，

所以g(x)2g(l)=e,所以aWe,

故答案為：(-s,e］.

f(x)=--x3+-x2+2ajc,若/(x)在［2,+oo］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則。的取值范

2、3213)

圍是一

【答案】a>——

9

2+c0

【解析】：/(x)=—x+x+2a,有已知條件可得：3xe[^,使得/(力20,即

2丁1/2:所

2只需2-(x-x，而安萬(wàn)卜

a5(%2—%)，aV

2min乙'2

?1

以Q>---

9

3、(2022?江蘇?南京市寧海中學(xué)二模)已知/(X)是可導(dǎo)的函數(shù)，且r(x)V2/(x),對(duì)于xeR

恒成立，則下列不等關(guān)系正確的是(