2025?2026學(xué)年江蘇省無錫市梁溪區(qū)江南中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A./+產(chǎn)0B.r+?C.2r=6D.x2-2=0

2.已知。。的半徑為4cm,點(diǎn)C到圓心O的距離為6cm,則（)

A.點(diǎn)C在圓外B.點(diǎn)C在圓內(nèi)C.點(diǎn)C在圓上D.點(diǎn)C無法確定

3.若〃？是一元二次方程/+21-2025=0的一個(gè)根，則m2+2m的值是)

A.2024B.-2025C.2025D.4050

4.已知△人4csH.相似比為1：3,則△相，與△￡?的面積比為（)

A.I：3B.I：6C.I：9D.9：1

5.如圖，在平行四邊形4BCD中，緇=:，。上交AC于點(diǎn)尸，那么空的

5Or

值是（）

A.

C.1

3

D.-

5

6.近年來，我國人工智能核心產(chǎn)業(yè)規(guī)?？焖僭鲩L.2023年某地區(qū)人工智能核心產(chǎn)業(yè)規(guī)模為5（）億元，2025年

達(dá)到72億元.設(shè)該地區(qū)這兩年人工智能核心產(chǎn)業(yè)規(guī)模的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程為（）

A.50（1+x）=72B.50（1+x）2=72C.50（1+2A）=72D.50（1+x2）=72

7.如圖，用直角曲尺檢查半圓形的工件是否合格，運(yùn)用到的道理是（）

A.同弧所對(duì)的圓周角相等B.直徑是圓中最大的弦

C.90°圓周角所對(duì)的弦是直徑D.圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等

.如圖，一塊直角三角板的斜邊與量角器的直徑重合，點(diǎn)。

8A3CA3D

對(duì)應(yīng)的刻度值為64°,則48c。的度數(shù)為（）

A.58°

B.600

C.620

D.64°

9.如圖，在R/ZXA8C中，乙AC8=90°,AC=3,BC=4,平面上有一點(diǎn)P,

AP=\,連接4P,BP,取BP的中點(diǎn)G.連接CG,在AP繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程

中，則CG的最大值是（）

A.3B.4C.3y/2D.2

10.如圖，正方形A8CO中，E、F分別為邊A。、0c上的點(diǎn)，且AE=/C,過/

作FHME,交/1B于G,過，作HM1AB于M,若48=9,AE=3,則下列結(jié)論

中：①乙BGF=乙CFB；②CDH=BH+FH；③“〃=人"④絲r=?.其中

5AE5

結(jié)論正確的是（）

A.①@③

B.①②④

C.①③④

D.③④

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

11.若叫甲=一.

12.將一元二次方程4f-l=5x化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)為-1,則一次項(xiàng)系數(shù)是一

13.如圖，四邊形A4CQ是。。的內(nèi)接四邊形，若乙4=80。，則/C的度數(shù)為.A

BD

14.已知元二次方程-2-0的兩根分別為人〃，則，，代〃的值是—.

15.三角形兩邊的長分別是2和3,第三邊的長是方程『-10r+24=0的根，則該三角形的周長為

16.如圖，△BCO內(nèi)接于。。，點(diǎn)8是下力的中點(diǎn)，C。是。O的直徑.若

NABC=30°,AC=5,則BC的長為.

17.我們把滿足下面條件的△ABC稱為“黃金三角形"：①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某條邊上

存在不與頂點(diǎn)重合的點(diǎn)P,使得，與。所在邊的對(duì)角頂點(diǎn)連線把△4BC分成兩個(gè)不全等的等腰三角形.

在△A8C中，AB=AC,乙4為鈍角.若△A3C為“黃金三角形”，則乙4的度數(shù)為

18.如圖，ZVIBC中，乙4cB=90。，CB=5,CA=10,點(diǎn)。，E分別在

AC,AB邊上，AE=^AD,連接。E,將AAOE沿翻折，得到

△FDE,連接CE,CF.若的面積是△4EC面積的2倍，則

AD=

三、解答題：本題共10小題，共96分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題12分)

解方程：

(1)("1)2.25=0；

(2)x(x-3)=3(x-3)；

(3)P4x-5=0(配方法)；

(4)21-3x-I=0.

20.（本小題8分）

已知關(guān)于x的一元二次方程^-2x^1-\=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求〃?的取值范圍；

（2）若〃?為正整數(shù)，求此時(shí)方程的根.

21.（本小題8分）

如圖，在△人CQ中，。人=OC,8是八。邊上一點(diǎn)，以/W為直徑的圓O經(jīng)過點(diǎn)。，/是直徑人8上一點(diǎn)（不

與點(diǎn)A,B重合）,連接。尸并延長交圓。于點(diǎn)E,連接￡4,EB.

（1）求證：ZC=ZD￡B；

（2）若AE=BE,"=30°,則皿中=_____°.

22.（本小題8分）

如圖，△AAC在帶有網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系中的位置.

（1）以點(diǎn)O為位似中心，在），軸右側(cè)作出△ABC的位似圖形△AIiG，使得放大后的△AiBiG與△ABC

的位似比為2：1：

（2）若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，且坐標(biāo)為（〃6）,寫出按（1）變化后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8的坐標(biāo)_____；

（3）直接寫出△48C的外接圓圓心坐標(biāo).

23.（本小題10分）

如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。、B、C、七在同一條直線上，且乙。=乙。4￡

(1)求證：△ABDs/XECA；

(2)若AL6,CE=4,求8。的長度.

24.（本小題10分）

如果關(guān)于x的一元二次方程云+30有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，那么稱這樣的方

程為“三倍根方程”.例如：方程爐-4.計(jì)3=0的兩個(gè)根是I和3,則這個(gè)方程就是“三倍根方程”.

（1）方程F3x+2=0（填"是”或“否”）"三倍根方程”；

（2）若關(guān)于x的方程9+公+片0是“三倍根方程”，其中有一人根是1,試求〃與c的值；

rnn

（3）若9-（〃?+〃）x+〃皿=0是關(guān)于x的“三倍根方程”，則代數(shù)式一2°2的值為

25.（本小題10分）

如圖，已知4B是。。的直徑，弦C/XL八8于凡連接8C,以BC,C。為鄰邊作平行四邊形8SE,連接

CE,AB與CE的交點(diǎn)為G,BF=6,

（1）求。。的半徑：

（2）求CE的長.

26.（本小題10分）

某公司的化工產(chǎn)品成本為30元/千克.銷售部門規(guī)定：一次性銷售1000千克以內(nèi)時(shí)，以50元/千克的價(jià)格銷

售：一次性銷售不低于1000千克時(shí)，每增加I千克降價(jià)0.01元.考慮到降價(jià)對(duì)利潤的影響，一次性銷售不

低于1750千克時(shí)，均以某一固定價(jià)格銷售.一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數(shù)關(guān)系

如圖所示.

（1）當(dāng)一次性銷售800千克時(shí)，利潤為多少元?

（2）當(dāng)一次性銷售多少千克時(shí)利潤為22100元?

27.（本小題10分）

如圖1和圖2,平面上，四邊形A8CO中，AB=S,BC2，TT，CD=\2,D4=6.乙4=90。，點(diǎn)M在4。邊

上，且。M=2.將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃。（0V收180）到MA',乙4'M4的平分線M尸所在直線

交折線A8-3C于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長為x（￡>0）,連接A，P.

(1)連接3D

①求乙。。的度數(shù);

②求出當(dāng)〃二180時(shí)，%的值;

（2）當(dāng)0VxW8時(shí)，點(diǎn)4'到直線A8的距離為.（用含K的式子表示）

28.（本小題10分）

如圖，在R/Z\A8C中，點(diǎn)。是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合），連接CQ,以CO為直角邊在

CECD

C。的右側(cè)構(gòu)造/^△CQE，zDCE=90°,連接BE,—

(I)

（1）如圖1,當(dāng)〃?=1時(shí)，8E與AO之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是—

（2）如圖2,當(dāng)機(jī)H1時(shí)，猜想3"與AO之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想;

（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)。關(guān)于QE對(duì)稱，連接EF,BF,如圖3.已知AC=6,設(shè)四

邊形C7）FE的面積為5.

①直接寫出S關(guān)于x的表達(dá)式：（不用寫x的取值范圍）

②當(dāng)8F=2時(shí)，人。的長度為一

1.【答案】D

2.【答案】4

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】4

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】-5

13.【答案】100°

14.【答案】6

15.【答案】9

16.【答案】

17.【答案】1080

18.【答案】當(dāng)

<5

19.【答案】Xi=4,X2=-6；

X|=X2=3;

Xl=5,X2=-1：

3+、后3-/17

x\--------m=--------

44

20.【答案】解：(1)；關(guān)丁大的一元二次方程『2十〃-71二0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

.*.A=(-2)2-4X1X(/n-1)>0,

解得/n<2；

(2)?.?，〃為正整數(shù)，由⑴知〃?<2,

???〃尸1,

???原方程可化為f-2x=0,即x(A-2)=0,

.3?；騲-2=0,

.■?xi=O?X2=2.

21.【答案】：DA=DC,

又二乙DAC=ZJ)EB,

:?乙C=cDEB；

75

22.【答案】△ABC的位似圖形△小小G,如圖即