1、遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2 0 1 0年2月2 0日0 1 2月9日中國(guó)科學(xué)院院刊f e b 2 010文章編號(hào)：1 0 0 8 0 5 6 2(2 0 1 0)0 1 0 4 4-0 4總最小二乘線性擬合丁克良l 2，沈運(yùn)忠2，歐繼坤3(北京建筑工程學(xué)院測(cè)繪與城市空間信息1所，北京1 0 0 4 4，國(guó)家測(cè)繪局現(xiàn)代工程測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2， 上海2009 2:3中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，武漢4 3 0 0 7 7，湖北省)摘要：針對(duì)直線擬合中不同因變量的擬合結(jié)果存在差異的事實(shí)，提出用總最小二乘法進(jìn)行直線擬合。 在分析直線方程特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，用e-i-v模型描述直線方程，根據(jù)系數(shù)矩陣的特

2、點(diǎn)，用q-r分解將方程分成兩部分，并采用混合d-乘法求解。理論分析和實(shí)際計(jì)算結(jié)果表明，總最小二乘法考慮了因變量和自變量的誤差。擬合精度高于普通最小二乘法，并且采用整體最小二乘法擬合直線，整體上優(yōu)于普通最小二乘法。關(guān)鍵詞：直線擬合；普通最小二乘法；全局最小二乘法；e . i . v模型中圖片的分類編號(hào)：o4 1 1 1文件識(shí)別碼：a . e . t . h . d . o . f . i . t . n . gb a . t . a . t . a . s . s . q . r . d . n . gk e . l . a . g . s h e n gy u n z h o n 9 2，0

3、uj i k u n(1 b e i j in gun i r s i i i y i i le n g i e i r i n ga n da r h i t u r e， 不，不，不，不，不，不，不，不，不，不，不，不。 2k e yl a b o r o r o a d v a n c e de n g e n g e g e r y n go f b s m，s h a n h a 10092 c h in a；3i n t i t u t o f g e o d e s n dg e o p h y s c s，c h i n e s ea c a d e m yo fs c i e

4、 n c e s，w u h a n，43077， c h i n a) a b t r a c t:l f t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t

5、 i 厄爾不允許在未來的幾年內(nèi)進(jìn)行任何形式的飛行這是一個(gè)很好的例子，因?yàn)樗且粋€(gè)很好的例子xi的食品和藥物管理局不同意厄爾食品和藥物管理局的要求隨著時(shí)間的推移，這種情況越來越多，這種情況也越來越多這是一個(gè)很好的例子，說明了為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況： o r d i in a r yl e a s ts q u a r es；在許多實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)際問題中將會(huì)遇到直線擬合問題，這些問題可以描述為：對(duì)于給定的m個(gè)測(cè)量點(diǎn)(但是，詛咒)，(f=1，2，干擾)， 尋找最佳擬合直線使之?dāng)M合的實(shí)質(zhì)是尋找直線參數(shù)的斜率和截距的最佳估計(jì)，而擬合方法通常采用普通的最小二乘法來求解擬合參數(shù)。 該方法簡(jiǎn)單、實(shí)用、應(yīng)用廣泛。然

6、而，值得注意的是，由于自變量和因變量的選擇不同，擬合線也不同。理論上，無論獨(dú)立變量如何選擇，都只能有一個(gè)最佳擬合結(jié)果。近年來，許多學(xué)者對(duì)這一問題進(jìn)行了研究，但沒有給出明確的答案。本文首先深入分析了因變量選擇不同導(dǎo)致擬合結(jié)果不同的原因，然后用e . i . v . 4 . 1模型描述直線擬合方程，用全最大d . x-乘法計(jì)算擬合參數(shù)5 7 1。理論分析和實(shí)際計(jì)算表明，擬合整個(gè)最大d倍曲線可以獲得最佳擬合效果。1用最小二乘法擬合直線的線性方程可以表示為nai=6(江1，2m) (1)，其中(馬鈴薯，m)是測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)，口是直線的斜率，b是y軸的截距，a和b是待估計(jì)的參數(shù)，口o和6 0是它們的近似值

7、。設(shè)a=a 0，如b=b 0，取y為因變量，x為自變量。誤差方程是8 1。收到日期：2 0 0 7-0 1 2 5?；痦?xiàng)目：國(guó)家測(cè)繪局現(xiàn)代工程測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)基金(e s b s m(07)05)；國(guó)家自然科學(xué)基金(4 0 7 7 1 1 7 8)作者簡(jiǎn)介：丁克良(1 9 6 8-)，男，淮陽(yáng)人，博士，主要從事現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)誤差處理研究，主要研究方向：最小二乘法直線擬合4 5。 其中a=v=組未去氘橢圓訓(xùn)練(2)靴髓形成：壓力誤差方程y的矩陣表達(dá)式，第一個(gè)z月監(jiān)獄：i v(3)在實(shí)際工程中，橫坐標(biāo)x也用作因變量，垂直坐著，兩條腿和6個(gè)0-y 1嘴。 根據(jù)最大d乘準(zhǔn)則，y 1 v=r a i n是馴

8、服的，而112-r a i n的最大d乘解是磁性的。1 a t，因變量殘差用y作為自變量擬合，則線性方程可以表示為t=毛伊(f=1，2，m) (8)，求解方法與前一個(gè)相似。以上是直線擬合的常見做法。該方法的前提是只考慮因變量的誤差，誤差方程中的系數(shù)矩陣視為精確值。實(shí)際情況是橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y有誤差，系數(shù)矩陣a也有誤差。表1同一組數(shù)據(jù)的不同因變量的計(jì)算結(jié)果。從計(jì)算結(jié)果可以看出，兩種方法擬合的參數(shù)與觀測(cè)值的誤差存在明顯差異。觀測(cè)z和y是有誤差的隨機(jī)變量，擬合時(shí)只考慮因變量的誤差(4)差，即一個(gè)變量的誤差只能用普通的最小二乘法進(jìn)行直線擬合。自變量的選擇、觀測(cè)精度和直線r的特性都會(huì)影響擬合結(jié)果，兩種方

9、法的擬合結(jié)果不一致。v=a 6 x t(6 ),表1同一組數(shù)據(jù)中不同變量的最小二乘擬合比較t a1b 1l e s ts q u a r e sl i n ef i t n gc o m p r i o no fd e f e r e n tv a r i b l ea b o t h es a m ed a t a測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)，hoe x5 95 44 44 63 53 72 82 82 4l 5 2墻：q墻：三壘：我！蘭蕾：魚：蘭茲：數(shù)學(xué)模型y=a x b x=k，y k=2，嘴=l毛，b=a毛擬合準(zhǔn)則l i(圓盤；6 a詛咒)i 2=m i n待估計(jì)參數(shù)的單位重量誤差c m 0 (mao

10、nairu-x)，1 1 2=r a i n 2 0(mao nairu 1 8 5 33 1 0 6 7 7 2 o 3 1 6總最小二乘線性擬合如果考慮線性方程(1)中自變量x的誤差，直線的條件方程可以表示為y=勺子(馬鈴薯)6(z=1，2和朋友)(9)。相應(yīng)的誤差方程(3)中的設(shè)計(jì)矩陣和觀測(cè)向量j包含誤差，因此誤差方程可以根據(jù)e i v模型6來描述(e) s x=，易(1 0)注意，在設(shè)計(jì)矩陣中，一列元素的固定值為1，這是一個(gè)7 1的混合最小二乘問題，因此應(yīng)該用混合最小二乘法來求解。設(shè)公式a=44中的4=1l1 t和4=52t。從參數(shù)求解、殘差計(jì)算和精度評(píng)估三個(gè)方面描述了計(jì)算過程。2 1

11、增廣矩陣c=【a1】是通過求解全局最小二乘參數(shù)構(gòu)造的，它是q-footed的。遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2 9卷l 4余集山m o萬芳數(shù)據(jù)4 6可將方程分為兩部分：r彩色r，6 a=冠，(1 3)英尺，6 a=英尺，(1 4)這里，r 1 1，r 1 2，英尺2 2和r 2都是標(biāo)量。求解參數(shù)時(shí)，首先用全局最小二乘法求解方程(1 4)得到參數(shù)b a，然后用方程(1 3)用普通最小二乘法求解參數(shù)b a。構(gòu)造增廣矩陣c r=【r 2: foot，】,并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解c r=u e n t熱u=bi 21 2 xd2xij小l包21圈21，l稱為o v i l one-l j=d i a g

12、(o 1，)，o i o 2參數(shù)8 a的全局最小二乘解用作1個(gè)中心， (1 5)返回等式(1 3)以獲得參數(shù)晶體6 b=g，q 1(屬于廣州局2) (1 6)您也可以根據(jù)以下公式求解井7(建立一個(gè)pi-1 m，未知數(shù)是旨在通過使用全局最小二乘法求解未知參數(shù)的丸，并且校正包括通過等式(e)的設(shè)計(jì)矩陣。 )a x=余，而適當(dāng)?shù)木€方程y=鍛造b表明基體校正層是設(shè)計(jì)好的。它應(yīng)該是觀測(cè)值x的校正數(shù)和觀測(cè)向量e的校正數(shù)，即觀測(cè)值y的校正數(shù)。v-1，“是x方向和y方向上的總最小二乘的校正數(shù)，而1”是正交方向的校正數(shù)。如圖1所示，普通最小二乘法和全局最小二乘法的幾何特征差異，以及普通最小直線擬合的單位重量平均

13、誤差。殘余誤差可根據(jù)以下公式計(jì)算6。增廣矩陣c名的修正是e r=阿香，n: (18)，一尺的修正是pong=瞄準(zhǔn)不足，所以設(shè)計(jì)矩陣和觀測(cè)向量的修正可以計(jì)算e巨 mao e也局=q t yao (2 0)，那么x方向和y方向的殘差是j-y.ou (2 1) lb=局部正交距離殘差=chi (2 2)從幾何角度來看，全局最小二乘解準(zhǔn)則是要求正交距離殘差的平方和最小，所以對(duì)觀測(cè)精度的評(píng)價(jià)應(yīng)該根據(jù)正交距離殘差來計(jì)算。gas=諺語(yǔ)bi=k t心諺語(yǔ)b (2 3)=(2 4)因?yàn)榭傋钚《朔紤]了x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的誤差，x方向或y方向的修正和正交距離殘差小于普通d乘殘差，單位重量的誤差優(yōu)于普通最小二乘法計(jì)算的誤差。不同方法直線擬合計(jì)算結(jié)果的比較上面簡(jiǎn)單介紹了普通最小二乘法和全局最大d-乘法的直線擬合方法。為了比較和分析它們的擬合結(jié)果，以文獻(xiàn)9給出